そろばんで、1か2か3か4に1か2か3か4を足す方法と、5か6か7か8か9から1か2か3か4を引く方法:5の合成分解

そろばんで、1か2か3か4に1か2か3か4を足す方法と、5か6か7か8か9から1か2か3か4を引く方法について、言い換えると、そろばんを使った5進数の足し算引き算の部分について説明します。

[目次]
1.5進数の繰り上がりのない足し算
2.5進数の繰り上がりのある足し算
3.5になるおともだち(足し算):5の合成分解
4.そろばんを使った1か2か3か4に1か2か3か4を足す方法
5.5進数の繰り下がりのない引き算
6.5進数の繰り下がりのある引き算
7.そろばんを使った5か6か7か8から1か2か3か4を方法
8.おまけ

1.5進数の繰り上がりのない足し算

例えば、1に2を足す場合、そろばんに最初に置いた数1の桁の、梁の下の珠(1珠)で使っていない珠は3つあるので、使っていない珠の2つを梁に向かって押し上げるだけで繰り上げの必要のない足し算が完成し、計算結果は3になります。

足される数Aが1か2か3か4で、足す数Bが1か2か3か4のとき、先の例のように、数Aが置かれている桁で、梁の下の使っていない1珠の数と数Bが同じか小さければ、梁に向かって数Bの数だけ梁の下の使っていない1珠を押し上げると、繰り上がりのない足し算が完成します。

このときの右手のみを使う運指では、1珠を(必要な数だけまとめて一度に)親指の腹で押し上げます。

このような足し算を行うことができるのは、数Aと数Bが次の組み合わせのときです。

A B
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
3 1

一般に、そろばん塾の先生は、生徒さんにこのパターンを暗記させるのではなく、そろばんの盤面にある足される数Aを見て、さらに、問題文にある足す数Bを見たとき、使っていない珠で数Bが繰り上がりなしに足せるかどうかを判断できるように指導します。

[練習問題:5進数の繰り上がりのない足し算]

上記の計算の動画はIT企画研究所 そろばん部チャンネルのYouTube動画 そろばん:5珠の繰り上がり繰り下がりを使った足し算引き算の、0:01~1:01でご覧いただけます。

2.5進数の繰り上がりのある足し算

例えば、2に4を足す場合、そろばんに最初に置いた数2の桁の、梁の下の珠(1珠)で使っていない珠は2つありますが、4を足すには足りません。
そこで、梁の上の使っていない珠(5珠)を押し下げて梁に付け、まず5を足してしまいます。
4を足したかったのに、5を足してしまったので、足し過ぎた分である1を、梁の下の珠(1珠)の1つを梁の反対に向かって押し下げることで引きます。
この5珠を使った繰り上げによって足し算が完成し、計算結果は6になりました。

足される数Aが1か2か3か4で、足す数Bが1か2か3か4のとき、先の例のように、数Aが置かれている桁で、梁の下の使っていない珠(1珠)の数より数Bが大きいければ、まず5珠を梁に押し下げて5を足し、次に、梁の下の使っている珠(1珠)から足し過ぎた数の珠を押し下げることで引くと、5珠を使った繰り上げによる足し算が完成します。

このときの右手のみを使う運指は、5珠を人差し指の腹で押し下げ、1珠も(必要な数だけまとめて一度に)人差し指の腹で押し下げます。

このような足し算を行うのは、数Aと数Bが次の組み合わせのときです。

A B
1 4
2 3
2 4
3 2
3 3
3 4
4 1
4 2
4 3
4 4

[練習問題:5進数の繰り上がりのある足し算]

上記の計算の動画はIT企画研究所 そろばん部チャンネルのYouTube動画 そろばん:5珠の繰り上がり繰り下がりを使った足し算引き算の、 1:02~2:09でご覧いただけます。

3.5になるおともだち(足し算):5の合成分解

2.5進数の繰り上がりのある足し算を子どもたちに教えるために、まず、5は整数の何と何の組み合わせでできる数かを、子どもたちに覚えてもらいます。 私のいたそろばん塾では、その2つの数字の組を「5になるおともだち」と呼んでいました。

5になるおともだちは、次の4組です。

[5になるおともだち]
A.1の5になるおともだちは、4
B.2の5になるおともだちは、3
C.3の5になるおともだちは、2
D.4の5になるおともだちは、1

AとD、BとCは同じことを順序を変えていっているだけではありますが、足される数と足す数を明示的に分けて覚えてほしいので、あえて、この4組を覚えてもらいます。

5になるおともだちを覚えたことを確認できたら、その生徒に、そろばんを使った1か2か3か4に1か2か3か4を足す方法を、次のように教えます。

4.そろばんを使った1か2か3か4に1か2か3か4を足す方法:まとめ

そろばんのある桁の数Aが1か2か3か4で、その桁に足したい数Bが1か2か3か4の場合、
(1)数Aの梁の下の使っていない珠(1珠)の数が、数Bと同じか数Bより大きいときは、数Bの数の1珠を右手の親指の腹でまとめて梁に向かって押し上げます。
(2)数Aの梁の下の使っていない珠(1珠)の数が、数Bより小さいときは、まず、5を足すために右手の人差し指の腹で梁の上の5珠を梁に向かって押し下げ、次に、足し過ぎた数、すなわち、数Bの5になるおともだちの数の1珠を、右手の人差し指の腹でまとめて梁の反対方向に押し下げて引きます。

(2)の計算方法、すなわち、1か2か3か4に1か2か3か4を足すときに使っていない1珠だけでは足せないときの計算方法を丸々覚える呪文は、以下です。
・(足される数が5珠を使っていなくて、かつ、使っていない1珠が0個の場合、足す数Bが1だったら、要は4+1だったら)
1は5足して4取る
・(足される数が5珠を使っていなくて、かつ、使っていない1珠が1個以下の場合、足す数Bが2だったら、要は4+2か3+2だったら)
2は5足して3取る
・(足される数が5珠を使っていなくて、かつ、使っていない1珠が2個以下の場合、足す数Bが3だったら、要は4+3か3+3か2+3だったら)
3は5足して2取る
・(足される数が5珠を使っていなくて、かつ、使っていない1珠が3個以下の場合、足す数Bが4だったら、要は4+4か3+4か2+4か1+4だったら)
4は5足して1取る

5.5進数の繰り下がりのない引き算

次に、5進数の引き算について、説明します。

例えば、8から2を引く場合、そろばんに最初に置いた数8の桁の、梁の下の珠(1珠)で使っている珠は3つあるので、使っている珠の2つを梁の反対に向かって押し下げるだけで繰り下げの必要のない引き算が完成し、計算結果は6になります。

引かれる数Aが5か6か7か8か9で、引く数Bが1か2か3か4のとき、先の例のように、数Aが置かれている桁で、梁の下の使っている1珠の数と数Bが同じか小さければ、梁の反対に向かって数Bの数だけ梁の下の使っている1珠を押し下げると、繰り下がりのない引き算が完成します。

このときの右手のみを使う運指では、1珠を(必要な数だけまとめて一度に)人差し指の腹で押し下げます。

このような引き算を行うことができるのは、数Aと数Bが次の組み合わせのときです。

A B
6 1
7 1
7 2
8 1
8 2
8 3
9 1
9 2
9 3
9 4

[練習問題:5進数の繰り下がりのない引き算]

上記の計算の動画はIT企画研究所 そろばん部チャンネルのYouTube動画 そろばん:5珠の繰り上がり繰り下がりを使った足し算引き算の、 2:10~3:14でご覧いただけます。

6.5進数の繰り下がりのある引き算

例えば、6から4を引く場合、そろばんに最初に置いた数6の桁の、梁の下の珠(1珠)で使っている珠は1つありますが、4を引くには足りません。
そこで、梁の上の使っている珠(5珠)を押し上げて梁に付け、まず5を引いてしまいます。
4を引きたかったのに、5を引いてしまったので、引き過ぎた分である1を、梁の下の珠(1珠)の1つを梁に向かって押し上げることで足します。
この5珠を使った繰り下げによって引き算が完成し、計算結果は2になりました。

引かれる数Aが5か6か7か8か9で、引く数Bが1か2か3か4のとき、先の例のように、数Aが置かれている桁で、梁の下の使っている珠(1珠)の数より数Bが大きいければ、まず5珠を梁の反対に向かって押し上げて5を引き、次に、梁の下の使っていない珠(1珠)から引き過ぎた数の珠を押し上げることで足すと、5珠を使った繰り下げによる引き算が完成します。

このときの右手のみを使う運指は、(上記理屈の説明では先に5を引きましたが、通常は5を引く操作を後にするため)5を引いてしまったとした場合に引き過ぎた分の数の1珠を(必要な数だけまとめて一度に)親指の腹で押し上げ、5珠を人差し指の爪で押し上げます。

このような引き算を行うのは、数Aと数Bが次の組み合わせのときです。

A B
5 1
5 2
5 3
5 4
6 2
6 3
6 4
7 3
7 4
8 4

[練習問題:5進数の繰り下がりのある引き算]

上記の計算の動画はIT企画研究所 そろばん部チャンネルのYouTube動画 そろばん:5珠の繰り上がり繰り下がりを使った足し算引き算の、3:15~4:33でご覧いただけます。

7.そろばんを使った5か6か7か8か9から1か2か3か4を引く方法:まとめ

そろばんのある桁の数Aが5か6か7か8か9で、その桁から引きたい数Bが1か2か3か4の場合、
(1)数Aの梁の下の使っている珠(1珠)の数が、数Bと同じか数Bより大きいときは、数Bの数の1珠を右手の人差し指の腹でまとめて梁の反対に向かって押し下げます。
(2)数Aの梁の下の使っている珠(1珠)の数が、数Bより小さいときは、もし、あらかじめ5を引くとした場合に引き過ぎる数の梁の下の珠(1珠)をまとめて右手の親指の腹で梁に向かって押し上げて足し、次に、5を引くために人差し指の爪で梁の上の珠(5珠)を梁の反対に向かって押し上げます。

(2)の計算方法、すなわち、5か6か7か8か9から1か2か3か4を引くときに、使っている1珠だけでは引けないときの計算方法を丸々覚える呪文は、以下です。
・(引かれる数が5珠を使っていて、かつ、使っている1珠が0個の場合、引く数Bが1だったら、要は5-1だったら)
1は4足して5取る
・(引かれる数が5珠を使っていて、かつ、使っている1珠が1個以下の場合、引く数Bが2だったら、要は5-2か6-2だったら)
2は3足して5取る
・(引かれる数が5珠を使っていて、かつ、使っている1珠が2個以下の場合、引く数Bが3だったら、要は5-3か6-3か7-3だったら)
3は2足して5取る
・(引かれる数が5珠を使っていて、かつ、使っている1珠が3個以下の場合、引く数Bが4だったら、要は5-4か6-4か7-4か8-4だったら)
4は1足して5取る

8.おまけ・・・5の合成分解の加減算

今回の記事で説明したように、そろばんの足し算引き算では、5進数的な繰り上がり繰り下がりを5珠を使って行う場合があります。

5進数的な繰り上がりでは、次の呪文を覚えます。
・1(を足したいとき)は5足して4取る
・2は5足して3取る
・3は5足して2取る
・4は5足して1取る

この呪文の最初の数と最後の数は、それぞれ5になるおともだちです。
(1と4、2と3、3と2、4と1)

5進数的な繰り下がりでは、次の呪文を覚えます。
・1(を引きたいとき)は4足して5取る
・2は3足して5取る
・3は2足して5取る
・4は1足して5取る

この呪文の最初の数と2番めの数は、それぞれ5になるおともだちです。
(1と4、2と3、3と2、4と1)

また、足し算を加算(かさん・・・と読みます)、引き算を減算(げんざん・・・と読みます)、足し算引き算を合わせて加減算(かげんざん・・・と読みます)と言うことがあり、さらに、5珠を使った5進数的な繰り上がりや繰り下がりの呪文にある、5になるおともだちの関係性を5の合成分解と言います。

ということで、今回説明した内容は、「5の合成分解を使った加減算」についての説明でした。

[練習問題:5の合成分解を使った加減算]

上記の計算の動画はIT企画研究所 そろばん部チャンネルのYouTube動画 そろばん:5珠の繰り上がり繰り下がりを使った足し算引き算の、4:34~最後でご覧いただけます。

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